Barisan dan Geret Geometri Materi Matematika SMP

Untuk mempelajari materi materi matematika barisan geometri dan deret geometri ada baiknya kalian memahami lebih dulu materi Barisan dan deret aritmatika silahkan menuju link tersebut. Barisan bilangan seperti apasih yang disebut dengan barisan geometri ?
barisan geometri dan deret geometri
ilustrasi barisan dan deret geometri

Suatu barisan U1, U2, U3,U4, ... Un disebut sebagai barisan geometri jika perbandingan dua suku yang berurutan selalu tetap. Perbandingan antara dua suku yang berurutan itu disebut pembanding atau rasio, biasanya dilambangkan dengan " r "
jadi r = U2/U1 = U3/U2 = U4/U3 = ... = Un

apabila suku pertama dinyatakan dengan a maka bentuk barisan geometrinya mejadi :

a, ar, ar2, ar3, ... arn-1

Nah gimana udah paham dengan apa itu barisan geometri, kalo udah paham mari lanjut ke pembahasan deret geometri.

Pada deret geometri U1 + U2 + U3 + U4, ... Un
jika :
Un+1 > Un maka deretnya disebut deret geometri naik, sebaliknya jika
Un+1 < Un maka deretnya disebut deret geometri turun.

Contoh Soal Deret geometri :

Diketahui deret 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + ...
U2/U1 = 6/2 = 3
U3/U2 = 18/6 = 3
U4/U3 = 54/18 = 3

Karena rasionya tetap yaitu 3 maka deret diatas disebut dengan deret geometri, dan karena Un+1 > Un maka deret tersebut termasuk deret geometri naik.

Rumus Suku ke-n Deret Geometri

Jika suku pertama dinyatakan dengan a, banyaknya suku dinyatakan dengan n, dan r menyatakan rasio maka suku ke-n dari deret geometri dapat dirumuskan sebagai berikut :

Un = arn - 1
Contoh soal :
Diketahui deret geometri 3 + 6 + 12 + 24 + ... tentukan suku ke-13 dari deret geometri tersebut.

penyelesaian :
r = u2/u1 = 6/3 = 2
rumus suku ke-n (Un) = arn - 1
Suku ke-13 U = 3 x 213-1 = 3 x 212 = 3x 4.096 = 12.288

Jumlah n suku pertama pada deret geometri

Untuk mengetahui jumlah n suku ( Sn ) dari deret geometri dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut :
rumus deret geometri
Hubungan Un dan Sn adalah U= S- Sn-1

Contoh Soal :
Tentukan Jumlah 6 suku pertama dari deret geometri 3 + 6 + 12 + 24 + ...

Penyelesaian :
a = 3
n = 6
r = 6/3 = 2, r >1

Lihat rumus Sn diatas maka ;
S6 = 3 ( 26- 1 ) / 2 -1 = 3 x 63 / 1 = 3 x 63 = 189

Nah mudahkan untuk menentukan jumlah n suku dari deret geometri yang menurut saya beda-beda tipislah sama deret aritmatika, nah yang perlu diingat adalah dalam penerapan rumus deret aritmatika dengan rumus deret geometri jangan sampai tertukar karena biasanya hal tersebut sering terjadi.

Demikian pos kali ini mengenai deret geometri semoga bermanfaat dan
S E L A M A T _ B E L A J A R

Materi Barisan dan Deret Aritmatika Lengkap dengan Rumus

Masih seputar materi aritmatika, yang semangat ya kawan-kawan kita masih akan belajar mengenai barisan aritmatika dan deret aritmatika. yuk baca dengan seksama.

Barisan Aritmatika

Sedikit banyak pastinya kalian sudah taukan apa itu barisan matematika kan ? bagi yang belum tau perlu diketahui bahwa barisan bilangan dinyatakan dalam bentuk U1, U2, U3,U4, ... Un baris bilangan seperti ini disebut dengan baris bilangan aritmatika, jika selisih dua suku berurutan selau tetap, dan selanjutnya selisih tersebut disebut dengan beda dan dilambangkan dengan huruf b

jadi nilai selisih dari baris bilangan dapat kita tuliskan sperti berikut :

b = U2 - U1 = U4 - U3 = U6 - U5 ... = Un - Un-1

Jika suku pertama dalam barisan aritmatika dinyatakan dengan a, maka didapat bentuk umum dari barisan aritmatika yaitu :

a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b,.... a+(n-1)b

a = suku pertama
b = beda

Jadi, Rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah sebagai berikut

U= a + ( n - 1 ) b

Contoh soal barisan aritmatika :

a) 1, 4, 7, 10, ...

b = U2 - U1 = U4 - U3 =
karena barisan bilangan tersebut mempunyai beda yang tetap yaitu 3 maka barisan tersebut merupakan barisan aritmatika.

b) 2, 5, 7, 9, ...

U2 - U1 = 3
U3 - U2 = 2

karena beda dari barisan bilangan tersebut tidak konstan/ tidak tetap maka barisan bilangan tersebut bukan barisan aritmatika.

Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah jumlah semua suku-suku pada barisan aritmatika, deret artitmatika juga biasa disebut dengan deret hitung. Deret aritmatika yang mempunyai beda lebih dari nol atau positif, maka deretnya disebut dengan deret aritmatika naik. Sedangkan deret aritmatika yang mempunyai beda kurang dari nol atau negatif maka deretnya disebut deret menurun.

Bentuk umum deret aritmatika :
a + ( a+b ) + ( a+2b ) + ( a +3b ) + ... + { a+(n-1)b}

Rumus suku ke-n deret aritmatika

Apabila a menyatakan suku pertama, n menyatakan banyak suku dan b merupakan beda suatu barisan aritmatka maka :



Demikian materi barisan aritmatika dan deret aritmatika yang bisa admin berikan semo kalian dapat memahami rumus barisan aritmatika serta rumus jumlah deret aritmatikanya.

selamat belajar !!!

Rumus dan Contoh Soal Deret Aritmatika, Suku Ke-n

Menentukan rumus deret aritmatika dari contoh soal deret aritmatika tentunya. Hai adik-adik belajar matematika lagi yuk. kali ini kakak akan memberikan sedikit penjelasan mengenai bagaimana cara menentukan suku ke-n dari suatu barisan bilangan.

Suku ke-n suatu baris bilangan biasanya dilambangkan dengan Un, Untuk mengetahui rumus deret aritmatikanya kita dapat mencari dengan pembetukan barisan bilangan itu sendiri. Proses pencarian suku ke-n ( Un ) dengan cara yang akan kakak bagikan ini bisa dibilang merupakan cara yang lebih praktis dibandingkan dengan menuliskan satu per satu suku bilangan.

Apabila kita disuruh mencari suku ke 987 tentunya akan menyulitkan kita kan bila kita harus menuliskan serentetan suku bilangan sampai suku ke 900-an dibayangkan aja udah males apalagi mau ngeakuinnya. Untuk lebih jelasnya dalam menentukan rumus suku ke-n silahkan perhatikan contoh soal aritmatika berikut.

Contoh soal aritmatika :
Tentukanlah suku ke-51 dari baris bilangan 6, 8, 10, 12, ....

Penyelesaian :
Lihat baris bilangan tersebut, dari situ dapat kita tari beberapa kesimpulan, yang pertama kita dapat bilangan pertama dari baris bilangan tersebut yang selanjutnya kita tuliskan sebagai U1 = 6, dst... yang kedua yaitu beda dari tiap bilangan ke bilangan selanjutnya adalah 2 .

U1 = 6     = 2 x 1 + 4
U2 = 8     = 2 x 2 + 4
maka,  Un = 2 x n + 4

Sehingga U51 = 2 x 51 + 4 = 106

Mudahkan bagimana menyelesaikan suku ke-n ?

lanjut ke contoh ke-2

Tentukan suku ke-49 dari baris bilangan 4, 9, 16, 25, ...

penyelesaian :

U1 = 4 = 22 = ( 1 + 1 )2
U2 = 9 = 32 = ( 2 + 1 )2
U3 = 16 = 42 = ( 3 + 1 )2
pangkat selalu 2, sedang bilangan pokoknya adalah urutan suku ditambah 1, maka didapat
Un = (n+1)2
jadi, U49 = (49 + 1)2 = 502 = 2500

Bagaimana ? dari 2 contoh soal barisan aritmatika tersebut bisakan menentukan rumus untuk suku ke-n nya ? Semoga kalian tidak ada kesulitan untuk memehami materi matematika yang satu ini agar untuk memahami materi selanjutnya lebih mudah.

Demikian materi matematika kali ini yang bisa admin sampaikan apabila ada pertanyaan lebih lanjut silahkan tinggalkan dikolom komentar atau kirim message aja ke Fans page matematika academy. semoga bermanfaat dan salam matematika.

Segitiga Pascal Pada Materi Pola Bilangan

Materi bilangan terbanyak terdapat banyak sekali fakta menarik dalam segitiga Pascal. Setiap baris segitiga Pascal memuat bilangan yang merupakan koefisien dari bentuk ekspansi pangkat bilangan cacah dari binomial. Akan tetapi, pada pembahasan ini admin akan dikhususkan untuk menemukan pola bilangan dalam tiap diagonal segitiga Pascal tersebut. Perhatikan gambar segitiga pascal berikut.

pola bilangan - segitiga pascal


Untuk menemukan sebuah pola tersebut kita membutuhkan pola bilangan dalam tiap baris segitiga Pascal. Semua bilangan dalam tiap-tiap baris tersebut merupakan koefisien dari ekspansi pangkat binomial. perhatikan contoh :

baris ke - 4 segitiga pascal

Lihat pada gambar segitiga pascal diatas perhatikan pada i=4 Koefisien ekspansi pangkat 4 binomialnya adalah 1, 4, 6, 4, dan 1 yang merupakan bilangan-bilangan pada baris ke-4 pada segitiga Pascal. Menurut Teorema Binomial,

teorema binominal - pola bilangan
Dari uraian diatas secara umum dapat kita simpulkan bahwa barisan bilangan pada baris i = k dalam segitiga Pascal dapat dituliskan sebagai berikut :

Sebagai contohnya, bilangan ke-3 dan ke-2 dari baris ke-5 pada segitiga Pascal adalah,
 Berdasarkan pola tersebut kita dapat menentukan sebuah rumus untuk menentukan bilangan ai,j,yaitu bilangan yang terdapat pada kolom ke-j dan baris ke-i dalam segitiga pascal.

misalnya kita akan menentukan pada baris ke-7 dan kolom ke-6 maka akan menjadi seperti berikut:
Dari rumus ai,j diatas, kita dapat menuliskan sebuah barisan bilangan pada diagonal ke-d seperti berikut.
Sehingga didapat suku ke-n dari baris bilangan pada diagonal ke-d adalah
Sebagai contohnya, diagonal ke-3 pada segitiga Pascal yang merupakan bilangan-bilangan segitiga yang berpola n(n + 1)/2. Pada barisan ini akan kita uji menggunakan rumus yang baru saja diketemukan. Dengan d = 3,
 Demikian uraian mengenai segitiga pascal yang bisa admin share semoga dengan sedikit materi matematika tersebet sedikit banyak dapat bermanfaat pada kita semua. selamat memahami apa itu segitiga pascal segitiga pascal

Selamat belajar.

Pola Bilangan Matematika

Materi Pola bilangan yang merupakan sub bab dari materi barisan aritmatika untuk SMP disini kta akan membahas mengenai pola bilangan ganjil dan pola bilangan genap,

Apa itu pola bilangan ?
Pola ialah sebuah susunan yang mempunyai bentuk teratur, sedang bilangan itu sendiri ialah sesuatu yang digunakan untuk menunjukkan kuantitas ( banyak/sedikit ) dan ukuran ( ringan / berat / pendek / panjang / luas ). Bilangan ditunjukkan oleh suatu tanda atau lambang yang disebut angka teratur dari bentuk satu ke bentuk lainnya.

Dalam beberapa kasus kita temui seuah bilangan yang tersusun dari bilangan lain yang mempunyai pola tertentu, maka yg demikian disebut sebagai pola bilangan.

Pola Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil

Pola Bilangan Genap

Salah satu himpunan dari bilangan asli adalah bilangan ganjil. apa itu bilangan ganjil ? Bilangan ganjil adalah bilangan asli yang tak habis jika dibagi dengan 2 atau kelipatannya.

Contoh soal :
Tentukanlah jumlah 7 bilangan asli ganjil yang pertama !

jawab :
ketujuh bilangan tersebut adalah : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. jadi n=7
jumlah ke-7 bilangan tersebut adalah 72=49
untuk membuktikan silahkan dihitung manual 1+3+5+7+9+11+13=...?

Contoh 2 pola bilangan
Berapakah banya bilangan asli ganjil yang jumlahnya 81 ?

jawab :
Kita telah mengetahui bahwa jumlah bilangan asli ganjil yaitu banyaknya bilangan asli ganjil dikuadratkan secara sederhana dapat kita tuliskan n2 dari pertanyaan diatas dapat kita simpulkan bahwa
n2=81, maka
n = √81
n = 9, jadi banyaknya bilangan ganjil adalah 9.

Pola Bilangan Genap

 Selain bilangan ganjil, bilangan genap juga termasuk anggota dari bilangan asli yaitu {2, 4, 6, 8, ...}

Perhatikan susunan heksagonal seperti pada gambar berikut :

pola bilangan matematika - pola heksagonal

Gambar diatas menunjukkan bahwa heksagonal yang terdiri sebanyak bilangan genap dapat disusun membentuk pola tertentu. sehingga gambar diatas bisa disebut sebagai pola bilangan genap.

Untuk lebih memahami perhatikan uraian penjumlahan bilangan asli genap berikut :

Penjumlahan dari 2 bilangan genap :
2 + 4 = 6, n=2 dapat ditulis 6 = 2 (2+1)
penjumlahan 3 bilangan genap :
2 + 4 + 6 = 12, n=3 dapat ditulis 12 = 3 ( 3+1)
penjulahan 4 bilangan genap :
2 + 4 + 6 + 8 = 20, n=4 dapat ditulis 20 = 4 (4+1)

dari pola di atas seharusnya anda sudah dapat menarik kesimpulan rumus jumlah pola bilangan genap, ya benar rumusnya adalah ns = n ( n + 1 )

Untuk mengaplikasikan rumus tersebut silahkan kalian kerjaan soal berikut :

  • Tentukan jumlah 10 bilangan asli pertama !
  • Tentukan jumlah 8 bilangan asli pertama !
Demikian materi pola bilangan matematika sub pokok bahasan dari barisan aritmatika, semoga dapat dipahami dengan baik. selamat belajar!!!

Materi Aritmatika Sosial SMP Kelas 7

Aritmatika sosial materi matematika untuk smp kelas 7 yang akan membahas mengenai harga pembelian, harga penjualan, unutng dan rugi serta rabat, bruto, tara, neto dan bunga yang akan admin sajikan secara singkat dan insyaAllah lengkap.

Harga beli adalah harga sebuah barang dari pabrik, grosir, ataupun tempat lainnya. harbeli suatu barang sering disebut juga dengan modal. Dalam situasi tertentu, modal dihitung dari harga beli dengan ongkoslain ataupun biaya tambahan lainnya.

Harga jual adalah sebuah harga yang sudah ditentukan oleh penjual/pedagang kepada konsumen/pembeli.

Laba atau untung adalah selisih yang didapat antara harga penjualan suatu barang dengan harga pembeliannya dengan syarat nilai harga jual lebih tinggi dari harga pembelian.

Untung/laba dapat diperoleh jika Hb < Hj. mka U = Hj - Hb.

Laba = harga penjualan - harga pembelian

Rugi adalah selisih antara harga jual dan harga beli jika dan hanya jika harga penjualan kurang dari harga pembelian.

Rugi = harga pembelian - harga penjualan

Selain untung dan rugi dalam kegiatan jual beli dapat juga terjadi Impas yang terjadi bilamana harga penjualan sama dengan harga pembelian.

Persentase Untung/Rugi terhadap harga pembelian

% keuntungan = U/Hb x 100%
% kerugian = R/Hb x 100%

Menentukan harga pembelian atau harga penjualan jika persentase dari untung atau rugi sudah diketahui.

kita tahu bahwa untung = harga jual - harga beli, maka didapat :
Harga jual = harga beli + untung
Harga beli = harga jual - untung

dan kita juga sudah tau bahwa rugi = harba beli - harga jual maka juga didapat :
Harga jual = harga beli - rugi
Harga beli = harga jual + rugi


materi aritmatika sosial smp kelas 7

Rabat, Bruto, Tara, Neto, dan Bunga

Rabat adalah potongan harga oleh penjual yang diberikan kepada pembeli karena melakukan pembelian dalam jumlah besar, rabat biasanya dinyatakan dalam bentuk persen ( % )

Harga Bersih = Harga Kotor - Rabat (diskon)

Bruto, tara dan neto

Berat barang yang kita beli biasanya masih dalam hitungan berat kotor artinya berat kemasan juga ikut dalam berat barang yang kita beli. Berat dari kemasan seperti karung, kardus, plastik, atau lainnya disebut dengan Tara. Berat barang beserta kemasan pembungkusnya disebut Bruto, sedang berat isi tanpa ada kemasan dan lain-lain disebut dengan neto. dari urian tersebut dapat kita tuliskan rumus sederhana sebagai berikut :

Bruto = neto + tara
Neto = bruto - tara
Tara = bruto - neto

jika diketahui persen dari tara dan bruto maka kita dapat menentukan rumus tara sbb :

Tara = persen tara x Bruto

Untuk mencari potongan bersih dari harga beli setelah memperoleh potongan berat ( tara ) adalah sbb :
Diskon = potongan harga
Harga bruto = harga yang seharusnya dibayar
Harga neto = harga yang dibayar setelah mendapat potongan/diskon.

Diskon = harga bruto - harga neto

Bunga Bank/Jasa

Biasanya bunga diberikan sekian persen ( x% ) per tahun. misal jika tabungan/modal (M) rupiah ditabung pada sebuah BANK yang memberikan bungan 10 % per tahun kepada nasabahnya maka,

Besar bunga setahun = 15/100 x M
Besar bunga (x) bulan = y/12 x 15/100 x M

Akhirnya selesai juga menuliskan materi aritmatika sosial untuk anak-anak SMP kelas 7 mulai dari Harga beli, harga jual, untung, rugi, impas, persen, tara, bruto, neto danlain sebagainya silahkan baca sendiri semoga dapat dipahami dengan baik.
Selamat belajar mtematika :)

Materi Skala dan Perbandingan

Berbicara soal skala pasti yang teringat skala peta, bagaimana sih pembacaan skala pada peta ? perhatikan uraian berikut :

Sebuah desain rumah digambarkan dengan skala 1 : 50, arti dari skala 1 : 50 yaitu setiap jarak satu centimeter pada gambar mewakili 50 centimeter jarak sesungguhnya. Jika panjang rumah pada gambar desain ditunjukkan dengan jarak 10 cm maka panjang rumah yang sesungguhnya adalah 10 x 50 cm = 500 cm.

Dari uraian tadi dapat ikita tarik sebuah kesimpulan mengenai pengertian dari skala.

Skala adalah perbandngan antara jarak pada gambar dengan jarak sesungguhnya. Skala biasanya digunakan pada denah lokasi, peta, dan rancangan benda.

Contoh penulisan skala :
1 : 20.000, 1 : 15.000, dan 1 : 1.750.000

Rumus Skala

rumus skala peta





Contoh soal skala :
Sebuah peta dengan skala 1 : 25.000, berapakah jarak sesungguhnya jika pada peta ditunjukkan dengan jarak 4 cm.

jawab :
jarak pada peta 4 cm
jarak sebenarnya adalah 4 x 25.000 cm = 100.000 cm

Bentuk-bentuk Perbandingan

Perbaningan Senilai

Apa sih maksud dari perbandingan senilai, perbandingan senilai yaitu perbandingan yang mempunyai sifat besaran jika yang satu bertambah, besaran lain juga bertambah pula.

contoh perbandingan senilai:
  1. Banyak pensil yang dibeli dengan besar uang untuk membayar
  2. Jarak dengan kecepatannya
Jika A dan B berbanding senilai :
materi perbandingan senilai
 maka berlaku a1/a2 = b1/b2

Perbandingan berbalik nilai

Sebuah perbandingan termasuk dalam perbandingan berbalik nilai jika perbandingan mempunyai sifat bila besaran satu bertambah besar maka besaran lain justru bertambah kecil.
contoh perbandingan berbalik nilai :
  1. Banyak pekerja dengan waktu yang ditetapkan untuk penyelesaian
  2. waktu perjalanan dengan kecepatan.
contoh perbandingan berbalik nilai
Dalam perbandingan berbalik nilai maka akan berlaku :

a1/a2 = b2/b1

Demikian materi skala dan perbandingan baik yang senilai maupun berbalik nilai yang bisa disampaikan untuk soal-soal mengenai skala dan perbandingan silahkan ditunggu untuk posting selanjutnya.
selamat belajar dan semoga bermanfaat.
 

Most Reading